Limites — Cours Complet

1. Définition Formelle de Limite (ε-δ simplifié)

Définition intuitive

La limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ est égale à $L$ , notée :

\lim_{x \to a} f(x) = L

si $f(x)$ peut être rendue arbitrairement proche de $L$ en prenant $x$ suffisamment proche de $a$ (sans nécessairement atteindre $a$ ).

Définition ε-δ (Weierstrass)

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall\,\varepsilon > 0,\; \exists\,\delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon

En pratique au lycée, on utilise la définition intuitive et les techniques algébriques ci-dessous.

Limites latérales

On distingue la limite à gauche $\lim_{x \to a^-} f(x)$ et la limite à droite $\lim_{x \to a^+} f(x)$ .

La limite en $a$ existe si et seulement si les deux limites latérales existent et sont égales :

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L

Exemple — vérification de limite

Montrer que $\lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5$ .

On doit trouver $\delta$ tel que $|x-2| < \delta \Rightarrow |(3x-1)-5| < \varepsilon$ .

Or $|(3x-1)-5| = |3x-6| = 3|x-2|$ . Il suffit de choisir $\delta = \varepsilon/3$ .

2. Limites Finies — Calcul Direct

Opérations sur les limites

Si $\lim_{x \to a} f(x) = L$ et $\lim_{x \to a} g(x) = M$ , alors :

\lim_{x \to a}[f(x) + g(x)] = L + M \qquad \lim_{x \to a}[f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M

\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} \quad (M \neq 0) \qquad \lim_{x \to a}[f(x)]^n = L^n

La substitution directe fonctionne pour toute fonction continue :

Exemple — substitution directe

$\lim_{x \to 3} (x^2 + 2x - 1) = 3^2 + 2(3) - 1 = 9 + 6 - 1 = 14$

$\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 1}{x + 3} = \dfrac{4 - 1}{2 + 3} = \dfrac{3}{5}$

Attention

La substitution directe ne fonctionne pas si elle donne une forme indéterminée telle que

0/0

,

\infty/\infty

, etc. Voir section 4.

3. Limites en l'Infini

Notation

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ : $f(x)$ approche $L$ quand $x$ devient arbitrairement grand.

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ : même idée pour $x \to -\infty$ .

Limites usuelles à l'infini

Fonction	$x \to +\infty$	$x \to -\infty$
$x^n\;(n \geq 1)$	$+\infty$	$-\infty$ (n impair), $+\infty$ (n pair)
$e^x$	$+\infty$	$0$
$\ln x$	$+\infty$	non défini
$1/x$	$0^+$	$0^-$
$\sin x,\;\cos x$	pas de limite	pas de limite

Comparaison des croissances

À l'infini, les fonctions croissent dans l'ordre suivant :

\ln x \;\ll\; x^n \;\ll\; e^x \quad \text{quand } x \to +\infty

Cela signifie que $\dfrac{\ln x}{x^n} \to 0$ et $\dfrac{x^n}{e^x} \to 0$ quand $x \to +\infty$ .

Exemple — polynômes à l'infini

Pour un polynôme, seul le terme dominant compte :

$\lim_{x \to +\infty} (3x^4 - 7x^2 + x - 5) = \lim_{x \to +\infty} 3x^4 = +\infty$

Pour une fraction rationnelle $P(x)/Q(x)$ , on compare les degrés :

deg(P) < deg(Q) → limite = 0
deg(P) = deg(Q) → limite = rapport des coeff. dominants
deg(P) > deg(Q) → limite = $\pm\infty$

4. Formes Indéterminées et Techniques de Levée

Les 7 formes indéterminées

\dfrac{0}{0}

\dfrac{\infty}{\infty}

\infty - \infty

0 \times \infty

0^0

1^\infty

\infty^0

Ces formes requièrent une transformation algébrique avant d'évaluer la limite.

Technique 1 — Factorisation

Forme 0/0 — factorisation et simplification

Si la substitution donne $0/0$ , on factorise numérateur et dénominateur pour éliminer le facteur commun.

Exemple

\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2}(x+2) = 4

\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - x - 6} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-2)(x-3)}{(x+2)(x-3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x-2}{x+2} = \frac{1}{5}

Technique 2 — Conjugaison (rationalisation)

Forme 0/0 avec racines — multiplier par le conjugué

Pour éliminer une racine carrée, multiplier par $(\sqrt{A} \pm \sqrt{B})$ .

Exemple

\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x+4-4}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+4}+2} = \frac{1}{4}

Technique 3 — Division par $x^n$

Forme ∞/∞ — diviser par la plus haute puissance

Pour les fractions rationnelles à l'infini, diviser numérateur et dénominateur par la puissance maximale de $x$ .

Exemple

\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x - 1}{5x^2 - x + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + 2/x - 1/x^2}{5 - 1/x + 4/x^2} = \frac{3}{5}

Technique 4 — Forme $\infty - \infty$

Exemple — mise au même dénominateur

\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}\right) = \lim_{x \to 0} \frac{x - 1}{x^2} = -\infty

Technique 5 — Forme $0 \times \infty$

Exemple — réécriture en fraction

On réécrit $f \cdot g$ comme $f / (1/g)$ pour obtenir une forme $0/0$ ou $\infty/\infty$ .

\lim_{x \to 0^+} x\ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} \xrightarrow{\text{L'Hôpital}} \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0

5. Règle de L'Hôpital

Théorème de L'Hôpital

Si $\lim_{x \to a} f(x) = 0$ et $\lim_{x \to a} g(x) = 0$ (ou les deux $\pm\infty$ ), et si $g'(x) \neq 0$ au voisinage de $a$ , alors :

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

à condition que cette dernière limite existe (finie ou infinie).

Conditions d'application

L'Hôpital s'applique uniquement pour les formes

0/0

ou

\infty/\infty

. La règle peut être appliquée plusieurs fois si la forme indéterminée persiste.

Exemple 1 — forme 0/0

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \;\overset{\text{L'H}}{=}\; \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1

Exemple 2 — application répétée

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \;\overset{\text{L'H}}{=}\; \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} \;\overset{\text{L'H}}{=}\; \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2} = \frac{1}{2}

Exemple 3 — forme ∞/∞

\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} \;\overset{\text{L'H}}{=}\; \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0

Erreur fréquente

Attention : ne pas appliquer L'Hôpital à une fraction qui n'est pas de forme indéterminée ! Par exemple,

\lim_{x \to 0} \frac{x+2}{3} = 2/3

se calcule directement.

6. Continuité

Définition

Une fonction $f$ est continue en $a$ si :

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Trois conditions doivent être satisfaites : $f(a)$ est définie, la limite existe, et les deux sont égales.

Types de discontinuités

Classification des discontinuités

Type	Description	Exemple
Évitable	La limite existe mais ≠ f(a), ou f non définie	$\frac{x^2-1}{x-1}$ en $x=1$
Saut	Limites latérales existent mais sont ≠	$\|x\|/x$ en $x=0$
Essentielle	Une limite latérale est infinie ou n'existe pas	$1/x$ en $x=0$

Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

Théorème (Bolzano)

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés, alors il existe au moins un $c \in (a,b)$ tel que :

f(c) = 0

Plus généralement, $f$ prend toute valeur entre $f(a)$ et $f(b)$ .

Exemple — existence d'une racine

Montrons que $f(x) = x^3 - 2x - 5$ a une racine dans $[2, 3]$ .

$f(2) = 8 - 4 - 5 = -1 < 0$

$f(3) = 27 - 6 - 5 = 16 > 0$

$f$ est continue et change de signe : par le TVI, $\exists\, c \in (2,3)$ tel que $f(c) = 0$ .

7. Asymptotes

Asymptotes Verticales

Définition

La droite $x = a$ est une asymptote verticale (AV) si :

\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty

Se produit généralement quand le dénominateur s'annule et le numérateur ne s'annule pas.

Exemple

Pour $f(x) = \dfrac{1}{x-2}$ : $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$ , donc $x = 2$ est une AV.

Asymptotes Horizontales

Définition

La droite $y = L$ est une asymptote horizontale (AH) si :

\lim_{x \to +\infty} f(x) = L \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = L

Exemple

Pour $f(x) = \dfrac{2x+1}{x-3}$ :

$\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{2x+1}{x-3} = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{2 + 1/x}{1 - 3/x} = 2$

Donc $y = 2$ est une AH (en $+\infty$ et en $-\infty$ ).

Asymptotes Obliques

Définition

La droite $y = mx + p$ est une asymptote oblique (AO) si :

\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (mx + p)] = 0

On trouve $m$ et $p$ par :

m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} \qquad p = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - mx]

Exemple

Pour $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}$ :

$m = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2+1}{x^2} = 1$

$p = \lim_{x \to \infty} \left[\dfrac{x^2+1}{x} - x\right] = \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} = 0$

Donc $y = x$ est une AO. (En effet, $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ .)

8. Théorème des Gendarmes (Sandwich Theorem)

Théorème

Si pour tout $x$ au voisinage de $a$ :

g(x) \leq f(x) \leq h(x)

et si $\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$ , alors :

\lim_{x \to a} f(x) = L

Ce théorème est particulièrement utile quand $f(x)$ contient des fonctions oscillantes comme $\sin$ ou $\cos$ .

Exemple classique

Calculer $\lim_{x \to 0} x^2 \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ .

On sait que $-1 \leq \sin(1/x) \leq 1$ , donc :

-x^2 \leq x^2 \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2

Comme $\lim_{x \to 0} (-x^2) = 0 = \lim_{x \to 0} x^2$ , par les gendarmes :

\lim_{x \to 0} x^2 \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) = 0

Exemple — à l'infini

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x}$ .

On a $-1 \leq \sin x \leq 1$ , donc $\dfrac{-1}{x} \leq \dfrac{\sin x}{x} \leq \dfrac{1}{x}$ .

Comme $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\pm 1}{x} = 0$ , on conclut $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0$ .

9. Limites Remarquables

À mémoriser absolument

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}

\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1

\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \approx 2.71828\ldots

\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1

Démonstration de $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Preuve géométrique (encadrement)

Pour $0 < x < \pi/2$ , on peut montrer géométriquement que :

\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1

Comme $\lim_{x \to 0} \cos x = 1$ , le théorème des gendarmes donne $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$ . La parité de $\sin x / x$ complète la preuve.

Généralisation

Formes généralisées utiles

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{ax} = 1 \quad (a \neq 0) \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{bx} = \frac{a}{b}

\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{a}{n}\right)^n = e^a

10. Formulaire Récapitulatif

Définitions essentielles

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L

f \text{ continue en } a \iff \lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Formes indéterminées — techniques

Forme	Technique
$0/0$ (polynômes)	Factoriser et simplifier
$0/0$ (racines)	Multiplier par le conjugué
$\infty/\infty$	Diviser par $x^n$ le plus grand
$\infty - \infty$	Mettre au même dénominateur ou conjugué
$0 \times \infty$	Réécrire en fraction $0/0$ ou $\infty/\infty$
$0/0$ ou $\infty/\infty$	Règle de L'Hôpital

Limites remarquables — mémoriser

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 \quad \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2} \quad \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1 \quad \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1

\lim_{n\to\infty}\!\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e \qquad \lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=e

Asymptotes

\text{AV: } x=a \text{ si } \lim_{x\to a^{\pm}} f(x)=\pm\infty \qquad \text{AH: } y=L \text{ si } \lim_{x\to\pm\infty} f(x) = L

\text{AO: } y=mx+p \text{ avec } m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x},\quad p=\lim_{x\to\infty}[f(x)-mx]

Théorèmes fondamentaux

L'Hôpital : $\lim \frac{f}{g} = \lim \frac{f'}{g'}$ (formes $0/0$ ou $\infty/\infty$ )
Gendarmes : $g \leq f \leq h$ et $\lim g = \lim h = L \Rightarrow \lim f = L$
TVI : $f$ continue sur $[a,b]$ , $f(a) \cdot f(b) < 0 \Rightarrow \exists\, c : f(c) = 0$

1. Définition Formelle de Limite (ε-δ simplifié)

2. Limites Finies — Calcul Direct

3. Limites en l'Infini

Comparaison des croissances

4. Formes Indéterminées et Techniques de Levée

Technique 1 — Factorisation

Technique 2 — Conjugaison (rationalisation)

Technique 3 — Division par x^n

Technique 4 — Forme \infty - \infty

Technique 5 — Forme 0 \times \infty

5. Règle de L'Hôpital

6. Continuité

Types de discontinuités

Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

7. Asymptotes

Asymptotes Verticales

Asymptotes Horizontales

Asymptotes Obliques

8. Théorème des Gendarmes (Sandwich Theorem)

9. Limites Remarquables

Démonstration de \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

Généralisation

10. Formulaire Récapitulatif

Technique 3 — Division par $x^n$

Technique 4 — Forme $\infty - \infty$

Technique 5 — Forme $0 \times \infty$

Démonstration de $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$