Fonctions — Cours Complet

1. Définition

Définition

Une fonction $f$ est une application qui à chaque élément $x$ de son domaine $D_f$ associe un unique élément $f(x) \in \mathbb{R}$ .

f : D_f \longrightarrow \mathbb{R},\quad x \longmapsto f(x)

Image de $x$ : la valeur $f(x)$
Antécédent de $y$ : tout $x$ tel que $f(x) = y$
Graphe : $\mathcal{C}_f = \{(x, f(x)) \mid x \in D_f\}$

2. Domaine de Définition & Ensemble Image

Règles de domaine

Racine paire : $\sqrt{u(x)}$ → condition $u(x) \geq 0$
Division : $\frac{1}{u(x)}$ → condition $u(x) \neq 0$
Logarithme : $\log u(x)$ → condition $u(x) > 0$
Combinaison : intersection de toutes les conditions

3. Parité

Paire / Impaire

\text{Paire:}\ f(-x)=f(x) \qquad \text{Impaire:}\ f(-x)=-f(x)

Condition préalable : le domaine doit être symétrique par rapport à $0$ .

Fonction	Type	Symétrie graphique
$x^2, x^4, \cos x, \|x\|$	Paire	Axe des ordonnées
$x, x^3, \sin x$	Impaire	Origine
$e^x, \ln x, x^2+x$	Ni paire ni impaire	—

4. Monotonie

Définition

Croissante sur I : $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)$

Décroissante sur I : $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$

Lien avec la dérivée (Semaine 7) : si $f'(x) > 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .

5. Types de Fonctions Usuelles

Polynômes

Forme générale

P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0

Domaine : $\mathbb{R}$ entier. Zéros trouvés par factorisation ou formule quadratique.

Formule quadratique pour $ax^2 + bx + c = 0$ :

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad \Delta = b^2 - 4ac

$\Delta > 0$ : deux solutions réelles distinctes
$\Delta = 0$ : une solution double
$\Delta < 0$ : pas de solution réelle

Fonctions Rationnelles

Forme

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \quad D_f = \{x \mid Q(x) \neq 0\}

Les valeurs exclues du domaine donnent souvent des asymptotes verticales.

Fonctions Trigonométriques

Valeurs remarquables

$x$	0	$\pi/6$	$\pi/4$	$\pi/3$	$\pi/2$
$\sin x$	0	$1/2$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
$\cos x$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1/2$	0

Formules fondamentales :

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

\sin(a\pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b

\cos(a\pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b

Fonctions Exponentielle et Logarithme

Propriétés fondamentales

e^{a+b} = e^a \cdot e^b \qquad e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b} \qquad (e^a)^n = e^{an}

\ln(ab) = \ln a + \ln b \qquad \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b \qquad \ln(a^n) = n\ln a

e^{\ln x} = x \quad (x>0) \qquad \ln(e^x) = x

La fonction exponentielle $e^x$ et le logarithme naturel $\ln x$ sont inverses l'un de l'autre.

6. Transformations Géométriques

Transformation	Formule	Effet sur le graphe
Translation verticale (+k)	$g(x) = f(x) + k$	Monte de k unités
Translation horizontale (+h)	$g(x) = f(x - h)$	Décale de h vers la droite
Homothétie verticale	$g(x) = a \cdot f(x)$	Étire/compresse verticalement
Homothétie horizontale	$g(x) = f(bx)$	Compresse horizontalement par b
Réflexion axe x	$g(x) = -f(x)$	Symétrie axiale (axe x)
Réflexion axe y	$g(x) = f(-x)$	Symétrie axiale (axe y)

7. Composition de Fonctions

Définition

(f \circ g)(x) = f(g(x))

On applique d'abord $g$ , puis $f$ au résultat.

Attention à l'ordre

En général

f \circ g \neq g \circ f

! La composition n'est pas commutative.

Exemple

Avec $f(x) = x^2$ et $g(x) = x + 1$ :

$(f \circ g)(x) = f(x+1) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$

$(g \circ f)(x) = g(x^2) = x^2 + 1$

8. Injection & Bijection

Définitions

Injective (1-1) : $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$ . Tout élément de l'image a au plus un antécédent.

Surjective : tout élément du codomaine est atteint.

Bijective : injective ET surjective. Chaque élément a exactement un antécédent.

Condition graphique pour l'injectivité : test de la droite horizontale (coupe le graphe en au plus un point).

9. Fonction Réciproque (Inverse)

Définition

Si $f$ est bijective, sa réciproque $f^{-1}$ vérifie :

f(x) = y \iff f^{-1}(y) = x

Le graphe de $f^{-1}$ est le symétrique de celui de $f$ par rapport à la droite $y = x$
$(f \circ f^{-1})(x) = x$ et $(f^{-1} \circ f)(x) = x$

Exemple

Si $f(x) = 2x + 3$ , trouver $f^{-1}$ :

Poser $y = 2x + 3$ , exprimer $x$ en fonction de $y$ : $x = \dfrac{y-3}{2}$

Donc $f^{-1}(x) = \dfrac{x-3}{2}$

10. Formulaire Récapitulatif

À mémoriser pour l'examen

\Delta = b^2 - 4ac \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

\sin^2 + \cos^2 = 1 \qquad \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}

(f\circ g)(x) = f(g(x)) \qquad f(f^{-1}(x)) = x

e^{\ln x} = x \qquad \ln(e^x) = x \qquad e^0 = 1 \qquad \ln 1 = 0