Révision Complète & Examen Blanc
1. Révision — Fonctions (Semaines 1–3)
Bases des fonctions
- Définition : règle x \mapsto f(x), unicité de l'image
- Domaine : exclure dénominateurs nuls, racines de négatifs, ln de ≤0
- Parité : paire si f(-x)=f(x), impaire si f(-x)=-f(x)
- Monotonie : croissante/décroissante sur un intervalle
- Lecture graphique : zéros, extrema, signe, intervalles
Types de fonctions
- Polynômes : domaine \mathbb{R}, racines par discriminant
- Rationnelles : exclure zéros du dénominateur, simplifier
- Trig : périodes, valeurs remarquables, parité de sin/cos/tan
- Exponentielle : e^x > 0 toujours, propriétés algébriques
- Logarithme : domaine (0,+\infty), \ln(e^x)=x
Transformations
- Translation verticale : f(x)+k monte/descend de k
- Translation horizontale : f(x-h) droite de h
- Homothétie verticale : af(x)
- Composée : (f\circ g)(x) = f(g(x)), ordre important
- Domaine de f\circ g : x\in D_g et g(x)\in D_f
2. Révision — Limites (Semaines 4–6)
Intro aux limites
- Limite en un point : valeur approchée de deux côtés
- Substitution directe quand la fonction est continue
- Limites à l'infini : terme dominant
- Règles : somme, produit, quotient des limites
Formes indéterminées
- 0/0 → factoriser et simplifier
- \infty/\infty → diviser par x^n
- \infty-\infty → conjugué ou réduction
- \displaystyle\lim_{x\to 0}\tfrac{\sin x}{x} = 1
- L'Hôpital : dériver haut et bas séparément
Continuité & asymptotes
- Continue en a : limite = valeur de la fonction
- TVI : garantit existence de racines sur [a,b]
- Asymptote verticale : f(x)\to\pm\infty
- Asymptote horizontale : f(x)\to L à l'infini
- Asymptote oblique : division euclidienne
3. Révision — Dérivées (Semaine 7)
- Somme : (f+g)' = f'+g'
- Produit : (fg)' = f'g+fg'
- Quotient : \left(\tfrac{f}{g}\right)' = \tfrac{f'g-fg'}{g^2}
- Composée : (f\circ g)' = (f'\circ g)\cdot g'
(x^n)' = nx^{n-1} | (e^x)' = e^x | (\ln x)' = \tfrac{1}{x} | (\sin x)' = \cos x | (\cos x)' = -\sin x | (\tan x)' = \tfrac{1}{\cos^2 x}
Tangente en x_0 : y = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)
4. Formulaire Complet
- \cos^2 x + \sin^2 x = 1
- \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1
- \sin(2x) = 2\sin x \cos x
- \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}
- \sin x \approx x
- \cos x \approx 1 - \dfrac{x^2}{2}
- \tan x \approx x
- e^x \approx 1 + x + \dfrac{x^2}{2}
- \ln(1+x) \approx x
- (1+x)^n \approx 1 + nx
Avant chaque exercice : (1) lire entièrement → (2) identifier le thème (fonction / limite / dérivée) → (3) choisir la méthode → (4) calculer avec soin → (5) vérifier le résultat. Ne jamais sauter l'étape de vérification.
5. Examen Blanc — 6 Exercices Type Maturité
Soit f(x) = \ln\!\left(\sqrt{4-x^2}\right).
- Détermine le domaine de définition D_f.
- Étudie la parité de f.
- Soit g(x) = e^x - 1. Trouve le domaine de f \circ g.
1) Domaine : Il faut \sqrt{4-x^2} > 0 (argument du ln strictement positif).
4 - x^2 > 0 \Leftrightarrow x^2 < 4 \Leftrightarrow -2 < x < 2.
D_f = (-2;\, 2).
2) Parité : Le domaine est symétrique en 0. f(-x) = \ln\!\left(\sqrt{4-(-x)^2}\right) = \ln\!\left(\sqrt{4-x^2}\right) = f(x). Donc f est paire.
3) Domaine de f\circ g : (f\circ g)(x) = f(e^x-1) = \ln\!\left(\sqrt{4-(e^x-1)^2}\right).
Condition : g(x) = e^x-1 \in D_f = (-2,2), c'est-à-dire -2 < e^x - 1 < 2.
-1 < e^x < 3. Comme e^x > 0 toujours, la condition gauche est automatique. Droite : e^x < 3 \Leftrightarrow x < \ln 3.
D_{f\circ g} = (-\infty;\, \ln 3).
Soit f(x) = \sqrt{x}. Exprimer et décrire le graphe de :
- g(x) = \sqrt{-x + 3} - 2 comme transformée de f
- Donner le domaine et l'image de g.
- En quel point le graphe de g coupe-t-il l'axe des abscisses ?
1) Transformations : g(x) = f(-x+3) - 2 = f(-(x-3)) - 2.
Étapes : f(x) \xrightarrow{x \mapsto -x} f(-x) \xrightarrow{x\mapsto x-3} f(-(x-3)) \xrightarrow{-2} f(-(x-3))-2.
Soit : réflexion par rapport à l'axe y, puis translation de 3 vers la droite, puis translation de 2 vers le bas.
2) Domaine : -x+3 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 3. D_g = (-\infty;\, 3].
Image : g(3) = \sqrt{0}-2 = -2 (minimum). g(x) \to +\infty quand x\to-\infty. Image = [-2;\,+\infty).
3) Zéro : g(x) = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3-x} = 2 \Leftrightarrow 3-x = 4 \Leftrightarrow x = -1. Point : (-1, 0).
Calculer les limites suivantes :
- \displaystyle\lim_{x\to 2} \dfrac{x^3 - 8}{x^2 - 4}
- \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{\sqrt{4x^4 + x^2}}
- \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(3x) - 3x}{x^3}
1) Factorisation : x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4) ; x^2-4=(x-2)(x+2).
\dfrac{x^2+2x+4}{x+2} \xrightarrow{x\to 2} \dfrac{4+4+4}{4} = 3.
2) Division par x^2 (x > 0) : \dfrac{2x^2-3x+1}{\sqrt{4x^4+x^2}} = \dfrac{2-3/x+1/x^2}{\sqrt{4+1/x^2}} \to \dfrac{2}{\sqrt{4}} = \dfrac{2}{2} = 1.
3) L'Hôpital (ou développement) : Forme 0/0. Trois applications de L'Hôpital :
\dfrac{\sin(3x)-3x}{x^3} \xrightarrow{H} \dfrac{3\cos(3x)-3}{3x^2} \xrightarrow{H} \dfrac{-9\sin(3x)}{6x} \xrightarrow{H} \dfrac{-27\cos(3x)}{6} \xrightarrow{x\to 0} \dfrac{-27}{6} = -\dfrac{9}{2}.
Soit f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1}.
- Simplifier f(x) et préciser le domaine.
- Trouver toutes les asymptotes (vertciales, horizontales).
- Calculer \displaystyle\lim_{x\to 1^+} f(x) et \displaystyle\lim_{x\to 1^-} f(x).
- Trouver les zéros de f.
1) Factorisation : f(x) = \dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}.
Pour x \neq 1 : f(x) = \dfrac{x-2}{x+1}. Domaine : \mathbb{R}\setminus\{-1;\,1\}.
2) Asymptotes : AV en x=-1 (vrai pôle). En x=1 : trou (discontinuité effaçable), car la limite vaut \dfrac{1-2}{1+1} = -\dfrac{1}{2}.
AH : \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x-2}{x+1} = 1. AH : y=1.
3) \displaystyle\lim_{x\to 1^\pm}f(x) = -\dfrac{1}{2} (même des deux côtés, c'est bien un trou).
4) Zéros : f(x)=0 \Leftrightarrow x-2=0 \Leftrightarrow x=2. Vérification : 2 \in D_f ✓. Unique zéro : x=2.
Soit f(x) = \dfrac{\sin x}{1 + \cos x}.
- Dériver f(x).
- Simplifier f'(x) en utilisant \cos^2 x + \sin^2 x = 1.
- Trouver l'équation de la tangente en x_0 = \dfrac{\pi}{3}.
1) Règle du quotient :
2) Simplification : \cos^2 x + \sin^2 x = 1, donc :
f'(x) = \dfrac{\cos x + 1}{(1+\cos x)^2} = \dfrac{1}{1+\cos x}
3) Tangente en x_0 = \pi/3 :
f\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sin(\pi/3)}{1+\cos(\pi/3)} = \dfrac{\sqrt{3}/2}{1+1/2} = \dfrac{\sqrt{3}/2}{3/2} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}
f'\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{1+1/2} = \dfrac{2}{3}
Tangente : y = \dfrac{2}{3}\!\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) + \dfrac{1}{\sqrt{3}}
Soit la fonction f(x) = xe^{-x}.
- Donner le domaine et étudier le signe de f.
- Calculer \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) et \displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x).
- Calculer f'(x) et trouver le point où la tangente est horizontale.
- Donner l'équation de la tangente en ce point.
1) Domaine : D_f = \mathbb{R} (produit de deux fonctions définies partout). e^{-x} > 0 toujours, donc le signe de f(x) = xe^{-x} est celui de x : positif sur (0,+\infty), négatif sur (-\infty, 0), nul en x=0.
2) Limites à l'infini :
\displaystyle\lim_{x\to+\infty} xe^{-x} = \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^x} \xrightarrow{H} \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{e^x} = 0. AH : y=0 à droite.
\displaystyle\lim_{x\to-\infty} xe^{-x} : quand x\to-\infty, x\to-\infty et e^{-x}\to+\infty. Produit \to -\infty.
3) Dérivée : Règle du produit. f'(x) = 1\cdot e^{-x} + x\cdot(-e^{-x}) = e^{-x}(1-x).
Tangente horizontale : f'(x) = 0 \Leftrightarrow e^{-x}(1-x) = 0. Comme e^{-x} > 0, on a 1-x = 0 \Leftrightarrow x = 1.
4) Tangente en x_0 = 1 : f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \dfrac{1}{e}. Pente = 0. Équation : y = \dfrac{1}{e}. C'est un maximum local de f.