Fonctions — Bases & Vocabulaire
1. Définition d'une Fonction
Une fonction f est une règle qui associe à chaque élément x d'un ensemble de départ (le domaine) un unique élément f(x) dans un ensemble d'arrivée (le codomaine).
L'élément f(x) s'appelle l'image de x par f. On dit aussi que x est un antécédent de f(x).
Pour qu'une relation soit une fonction, chaque valeur x doit avoir au plus une image. Le test de la droite verticale : si une droite verticale coupe le graphe en plus d'un point, ce n'est pas une fonction.
Soit f(x) = x^2 - 3x + 2. Calcule f(0), f(1) et f(-2).
- f(0) = 0 - 0 + 2 = 2
- f(1) = 1 - 3 + 2 = 0
- f(-2) = 4 + 6 + 2 = 12
2. Domaine de Définition & Image
Le domaine de définition D_f est l'ensemble de toutes les valeurs x pour lesquelles f(x) est défini (existe et est réel). L'ensemble image (ou coimage) est l'ensemble de toutes les valeurs prises par f.
Restrictions classiques
- Dénominateur ≠ 0 : pour \frac{1}{x-3}, on exclut x = 3
- Racine carrée d'un nombre négatif impossible : pour \sqrt{x-1}, il faut x \geq 1
- Logarithme d'un nombre ≤ 0 : pour \ln(x), il faut x > 0
Comment trouver le domaine
- Identifier les opérations problématiques (division, racine, log)
- Écrire les conditions d'existence comme inégalités
- Résoudre et exprimer D_f en notation d'intervalle
Trouver D_f pour f(x) = \dfrac{\sqrt{x+4}}{x-2}
Conditions : x + 4 \geq 0 et x - 2 \neq 0
x \geq -4 et x \neq 2
Donc D_f = [-4;\, 2) \cup (2;\, +\infty)
3. Parité d'une Fonction
Fonction paire : f(-x) = f(x) pour tout x \in D_f. Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
Fonction impaire : f(-x) = -f(x) pour tout x \in D_f. Symétrie par rapport à l'origine.
- Paires : f(x)=x^2, f(x)=\cos x, f(x)=|x|
- Impaires : f(x)=x^3, f(x)=\sin x, f(x)=x
- Ni l'un ni l'autre : f(x)=e^x, f(x)=x^2+x
4. Monotonie d'une Fonction
Croissante sur I : Pour tous x_1, x_2 \in I, si x_1 < x_2 alors f(x_1) \leq f(x_2).
Décroissante sur I : Pour tous x_1, x_2 \in I, si x_1 < x_2 alors f(x_1) \geq f(x_2).
Sur le graphe : croissante = monte de gauche à droite ; décroissante = descend de gauche à droite.
5. Lecture Graphique
À partir du graphe d'une fonction, on peut lire directement :
- Le domaine : les valeurs de x pour lesquelles la courbe existe
- L'ensemble image : les valeurs de y atteintes
- Les zéros : les x où la courbe coupe l'axe horizontal
- Les extrema : maximums et minimums locaux/globaux
- Les intervalles de monotonie : où la courbe monte/descend
Lorsque tu analyses un graphe, procède toujours dans cet ordre : (1) domaine → (2) zéros → (3) signe → (4) monotonie → (5) extrema. Cette séquence t'assure de ne rien oublier.
Exercices de la Semaine 1
Soit f(x) = 2x^2 - 5x + 1.
- Calcule f(0), f(2) et f(-1).
- Vérifie si x = 3 est un antécédent de 4.
- Trouve tous les antécédents de 0.
1)
- f(0) = 0 - 0 + 1 = 1
- f(2) = 8 - 10 + 1 = -1
- f(-1) = 2 + 5 + 1 = 8
2) f(3) = 18 - 15 + 1 = 4 ✓ Oui, x=3 est bien un antécédent de 4.
3) Résoudre 2x^2 - 5x + 1 = 0. Discriminant : \Delta = 25 - 8 = 17.
x = \dfrac{5 \pm \sqrt{17}}{4}
Les deux antécédents sont x_1 = \dfrac{5+\sqrt{17}}{4} \approx 2{,}28 et x_2 = \dfrac{5-\sqrt{17}}{4} \approx 0{,}22.
Détermine le domaine de définition D_f de chacune des fonctions suivantes :
- f(x) = \sqrt{3x - 6}
- g(x) = \dfrac{x+2}{x^2 - 4}
- h(x) = \ln(2x - 1)
- k(x) = \sqrt{x+3} + \dfrac{1}{x-1}
1) 3x - 6 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2. Donc D_f = [2;\, +\infty)
2) x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2. Donc D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2;\, 2\}
3) 2x - 1 > 0 \Rightarrow x > \tfrac{1}{2}. Donc D_h = \left(\tfrac{1}{2};\, +\infty\right)
4) Conditions : x + 3 \geq 0 et x \neq 1, donc x \geq -3 et x \neq 1. D_k = [-3;\, 1) \cup (1;\, +\infty)
Pour chaque fonction, détermine si elle est paire, impaire ou ni l'un ni l'autre. Justifie.
- f(x) = x^4 - 3x^2 + 5
- g(x) = x^3 - 2x
- h(x) = x^2 + x
- k(x) = \dfrac{x}{1+x^2}
1) f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 5 = x^4 - 3x^2 + 5 = f(x) → Paire (somme de puissances paires + constante)
2) g(-x) = -x^3 - 2(-x) = -x^3 + 2x = -(x^3 - 2x) = -g(x) → Impaire
3) h(-x) = x^2 - x \neq h(x) et h(-x) \neq -h(x) → Ni paire ni impaire
4) k(-x) = \dfrac{-x}{1+(-x)^2} = \dfrac{-x}{1+x^2} = -k(x) → Impaire
On te donne la description d'un graphe. La courbe de f passe par les points (-3, 0), (-1, 4), (0, 3), (2, -1) et (4, 0). Elle est croissante sur [-3;\, -1] et décroissante sur [-1;\, 4].
- Donne les zéros de f visibles sur ce graphe.
- Quel est le maximum apparent de f ? En quel point est-il atteint ?
- Quel est le signe de f sur l'intervalle (-3;\, 4) ?
1) Les zéros sont x = -3 et x = 4 (là où la courbe coupe l'axe des abscisses).
2) Le maximum est f(-1) = 4, atteint au point (-1;\, 4).
3) La courbe est au-dessus de l'axe x entre les deux zéros, donc f(x) > 0 pour x \in (-3;\, 4), et f(x) < 0 pour x = 2 non (f(2)=-1 < 0). Signe : positif sur (-3;\, ?) — on a besoin d'un deuxième zéro intermédiaire. Avec les données fournies, f(x) > 0 sur (-3;\, x_0) et f(x) < 0 sur (x_0;\, 4) où x_0 \in (0;\, 2) (zéro intermédiaire entre f(0)=3>0 et f(2)=-1<0).
Soit f(x) = \dfrac{\sqrt{9 - x^2}}{x}.
- Détermine le domaine de définition D_f.
- Étudie la parité de f.
- Détermine si 0 appartient à l'ensemble image de f.
1) Domaine : Conditions : 9 - x^2 \geq 0 et x \neq 0.
9 - x^2 \geq 0 \Leftrightarrow x^2 \leq 9 \Leftrightarrow -3 \leq x \leq 3
Donc D_f = [-3;\, 0) \cup (0;\, 3]
2) Parité : Le domaine est symétrique par rapport à 0. Calculons f(-x) :
f(-x) = \dfrac{\sqrt{9-(-x)^2}}{-x} = \dfrac{\sqrt{9-x^2}}{-x} = -f(x)
→ f est impaire.
3) f(x) = 0 \Leftrightarrow \sqrt{9-x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 3. Mais x = \pm 3 sont dans D_f (valeurs limites). Donc f(\pm 3) = 0. Oui, 0 est dans l'image.
On considère la fonction f : x \mapsto \dfrac{x^2-4}{|x-1|}.
- Précise le domaine de définition.
- Calcule f(-2), f(0) et f(3).
- Montre que f n'est ni paire ni impaire.
- (Bonus) En distinguant les cas x > 1 et x < 1, donne une expression simplifiée de f.
1) Le dénominateur |x-1| = 0 \Leftrightarrow x = 1. Donc D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}.
2)
- f(-2) = \dfrac{4-4}{|-2-1|} = \dfrac{0}{3} = 0
- f(0) = \dfrac{0-4}{|0-1|} = \dfrac{-4}{1} = -4
- f(3) = \dfrac{9-4}{|3-1|} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5
3) f(-x) = \dfrac{x^2-4}{|-x-1|} = \dfrac{x^2-4}{|x+1|}. Ce n'est pas égal à f(x) ni à -f(x) en général (ex. : f(3) = 2{,}5 mais f(-3) = \dfrac{5}{4} = 1{,}25 \neq \pm 2{,}5). Ni paire ni impaire. ✓
4) Bonus :
- Si x > 1 : |x-1| = x-1, donc f(x) = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-1}
- Si x < 1 : |x-1| = 1-x, donc f(x) = \dfrac{(x-2)(x+2)}{1-x}