Semaine 2 — Types de fonctions

1. Fonctions Polynômes

Définition

Une fonction polynôme de degré $n$ est de la forme :

P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \quad (a_n \neq 0)

Le domaine de tout polynôme est $\mathbb{R}$ . Les coefficients $a_i \in \mathbb{R}$ .

Cas particuliers importants

Constante ( $n=0$ ) : $f(x) = c$ . Graphe : droite horizontale.
Affine ( $n=1$ ) : $f(x) = ax + b$ . Graphe : droite de pente $a$ .
Quadratique ( $n=2$ ) : $f(x) = ax^2 + bx + c$ . Graphe : parabole.
Cubique ( $n=3$ ) : $f(x) = ax^3 + \ldots$ . Graphe : courbe en S.

Propriétés du polynôme quadratique

Pour $f(x) = ax^2 + bx + c$ :

Sommet (vertex) : $x_s = -\dfrac{b}{2a}$ , $y_s = f(x_s)$
Discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$
Si $\Delta > 0$ : deux racines réelles $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta = 0$ : une racine double $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$
Si $\Delta < 0$ : aucune racine réelle

Exemple

Trouver les racines de $P(x) = 2x^2 - 7x + 3$ .

$\Delta = 49 - 24 = 25$ , donc $x_1 = \dfrac{7+5}{4} = 3$ et $x_2 = \dfrac{7-5}{4} = \dfrac{1}{2}$ .

Forme factorisée : $P(x) = 2(x-3)\!\left(x - \tfrac{1}{2}\right) = (x-3)(2x-1)$ .

2. Fonctions Rationnelles

Définition

Une fonction rationnelle est le quotient de deux polynômes :

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \quad Q(x) \neq 0

Domaine : $D_f = \mathbb{R} \setminus \{x \mid Q(x) = 0\}$ .

Les zéros du dénominateur créent des discontinuités — soit des asymptotes verticales, soit des trous (si la même racine est au numérateur).

Méthode — Simplification

Avant d'analyser une fonction rationnelle, factorise numérateur et dénominateur et simplifie les facteurs communs. Un facteur commun annulé crée un trou (discontinuité effaçable), pas une asymptote.

Exemple

Analyser $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2}$ .

Factorisation : $\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+2)}$ .

Pour $x \neq 1$ : $f(x) = \dfrac{x+1}{x+2}$ . Il y a un trou en $x = 1$ et une asymptote verticale en $x = -2$ .

3. Fonctions Trigonométriques

Les trois fonctions de base

\sin : \mathbb{R} \to [-1,1] \qquad \cos : \mathbb{R} \to [-1,1] \qquad \tan : \mathbb{R} \setminus \left\{\tfrac{\pi}{2}+k\pi\right\} \to \mathbb{R}

Propriétés fondamentales

Périodicité : $\sin$ et $\cos$ ont la période $2\pi$ ; $\tan$ a la période $\pi$ .
Parité : $\cos(-x) = \cos x$ (paire) ; $\sin(-x) = -\sin x$ et $\tan(-x) = -\tan x$ (impaires).
Relation fondamentale : $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$

Valeurs remarquables à mémoriser

Tableau des valeurs clés (en radians) :

$x$	0	$\pi/6$	$\pi/4$	$\pi/3$	$\pi/2$
$\sin x$	0	$\tfrac{1}{2}$	$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$	1
$\cos x$	1	$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\tfrac{1}{2}$	0

Exemple — Résoudre une équation trigonométrique

Résoudre $2\sin x - 1 = 0$ sur $[0;\, 2\pi]$ .

$\sin x = \dfrac{1}{2}$ , donc $x = \dfrac{\pi}{6}$ ou $x = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$ .

4. Fonctions Exponentielle et Logarithme

Définitions

Exponentielle naturelle :

\exp : \mathbb{R} \to (0, +\infty), \quad x \mapsto e^x \quad (e \approx 2{,}718)

Logarithme naturel (réciproque de $\exp$ ) :

\ln : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto \ln x

Propriétés algébriques fondamentales

$e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ | $e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}$ | $(e^a)^b = e^{ab}$
$\ln(ab) = \ln a + \ln b$ | $\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$ | $\ln(a^n) = n\ln a$
$\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln x} = x$ (fonctions réciproques)
$\ln 1 = 0$ , $\ln e = 1$

Attention — Domaine du logarithme

\ln(x)

n'est défini que pour

x > 0

(strictement). Lors du calcul d'un domaine, toujours vérifier que l'argument du logarithme est strictement positif.

Comportement asymptotique

$e^x \to +\infty$ quand $x \to +\infty$ | $e^x \to 0$ quand $x \to -\infty$
$\ln x \to +\infty$ quand $x \to +\infty$ | $\ln x \to -\infty$ quand $x \to 0^+$
L'exponentielle croît plus vite que tout polynôme ; le logarithme croît plus lentement.

Exemple — Résoudre une équation exponentielle

Résoudre $e^{2x} - 5e^x + 6 = 0$ .

Substitution $u = e^x > 0$ : $u^2 - 5u + 6 = 0$ , soit $(u-2)(u-3) = 0$ .

Donc $u = 2$ ou $u = 3$ , c'est-à-dire $x = \ln 2$ ou $x = \ln 3$ .

5. Récapitulatif des Domaines

Tableau de référence pour les domaines des fonctions usuelles :

Tableau récapitulatif

Fonction	Domaine $D_f$	Image
Polynôme	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
Rationnelle $\frac{P}{Q}$	$\mathbb{R} \setminus \{Q=0\}$	Dépend
$\sin x$ , $\cos x$	$\mathbb{R}$	$[-1,\,1]$
$\tan x$	$\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2}+k\pi\}$	$\mathbb{R}$
$e^x$	$\mathbb{R}$	$(0,+\infty)$
$\ln x$	$(0,+\infty)$	$\mathbb{R}$
$\sqrt{x}$	$[0,+\infty)$	$[0,+\infty)$

Exercices de la Semaine 2

Exercice 1 Facile

Polynômes — racines

Pour chaque polynôme, trouve les racines réelles et donne la forme factorisée.

$P(x) = x^2 - 5x + 6$
$Q(x) = 3x^2 + x - 2$
$R(x) = x^2 + 2x + 5$

Solution complète

1) $\Delta = 25 - 24 = 1$ . Racines : $x_1 = 3$ , $x_2 = 2$ . Forme factorisée : $P(x) = (x-3)(x-2)$ .

2) $\Delta = 1 + 24 = 25$ . Racines : $x_1 = \dfrac{-1+5}{6} = \dfrac{2}{3}$ , $x_2 = \dfrac{-1-5}{6} = -1$ . Forme factorisée : $Q(x) = 3\!\left(x - \tfrac{2}{3}\right)(x+1) = (3x-2)(x+1)$ .

3) $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ . Aucune racine réelle. Le polynôme est irréductible sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 2 Facile

Domaines — fonctions rationnelles

Détermine le domaine de définition de chaque fonction rationnelle :

$f(x) = \dfrac{3x+1}{x^2-9}$
$g(x) = \dfrac{x^2-4}{x^2+4}$
$h(x) = \dfrac{x}{x^3 - x}$

Solution complète

1) $x^2 - 9 = (x-3)(x+3) = 0 \Rightarrow x = \pm 3$ . Donc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3;\, 3\}$ .

2) $x^2 + 4 \geq 4 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ : jamais nul. Donc $D_g = \mathbb{R}$ .

3) $x^3 - x = x(x^2-1) = x(x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow x \in \{-1;\, 0;\, 1\}$ . Donc $D_h = \mathbb{R} \setminus \{-1;\, 0;\, 1\}$ .

Exercice 3 Intermédiaire

Trigonométrie — valeurs et équations

Sans calculatrice, calcule les valeurs exactes et résous les équations sur $[0;\, 2\pi]$ :

Calcule $\sin\!\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)$ et $\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)$ .
Résous $\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ sur $[0;\, 2\pi]$ .
Résous $\tan x = 1$ sur $[0;\, 2\pi]$ .

Solution complète

1) $\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}$ , donc $\sin\!\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}$ .

$\dfrac{5\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4}$ , donc $\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

2) $\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . La valeur de référence est $\dfrac{\pi}{6}$ (car $\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ). Le cosinus est négatif en Q2 et Q3 : $x = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$ ou $x = \pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6}$ .

3) $\tan x = 1$ : valeur de référence $\dfrac{\pi}{4}$ . La tangente est positive en Q1 et Q3 : $x = \dfrac{\pi}{4}$ ou $x = \pi + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4}$ .

Exercice 4 Intermédiaire

Logarithme — propriétés et équations

Simplifier et résoudre :

Simplifier $\ln(e^3) - \ln(e^{-1}) + \ln 1$ .
Résoudre $\ln(x+3) + \ln(x-1) = \ln 5$ .
Résoudre $2\ln x - \ln(x+6) = 0$ .

Solution complète

1) $\ln(e^3) - \ln(e^{-1}) + \ln 1 = 3 - (-1) + 0 = 4$ .

2) Domaine : $x > 1$ . $\ln[(x+3)(x-1)] = \ln 5$ , donc $(x+3)(x-1) = 5$ .

$x^2 + 2x - 3 = 5 \Rightarrow x^2 + 2x - 8 = 0 \Rightarrow (x+4)(x-2) = 0$ .

$x = 2$ (accepté car $x > 1$ ) ou $x = -4$ (rejeté). Solution : $x = 2$ .

3) Domaine : $x > 0$ . $\ln x^2 = \ln(x+6)$ , donc $x^2 = x + 6$ .

$x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+2) = 0$ . $x = 3$ (accepté) ou $x = -2$ (rejeté). Solution : $x = 3$ .

Exercice 5 Difficile

Fonctions mixtes — domaine et propriétés

Soit $f(x) = \ln\!\left(\dfrac{\sin x}{\cos x + 1}\right)$ .

Détermine le domaine de définition $D_f$ .
Étudie la parité de $f$ .
Simplifie l'expression et reconnais la fonction.

Solution complète

1) Domaine : Il faut $\dfrac{\sin x}{\cos x + 1} > 0$ et $\cos x \neq -1$ .

$\cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pi + 2k\pi$ (exclus). La fraction est positive quand $\sin x$ et $\cos x + 1$ ont le même signe. Comme $\cos x + 1 \geq 0$ toujours (et $> 0$ sauf en $x = \pi+2k\pi$ ), il faut $\sin x > 0$ , soit $x \in (2k\pi,\, \pi + 2k\pi)$ .

2) Parité : $f(-x) = \ln\!\left(\dfrac{\sin(-x)}{\cos(-x)+1}\right) = \ln\!\left(\dfrac{-\sin x}{\cos x+1}\right) = -f(x)$ si l'argument est positif, mais le domaine n'est pas symétrique → $f$ n'est pas définie en $-x$ en général. Ni paire ni impaire sur $D_f$ .

3) En utilisant la formule $\tan\!\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{\sin x}{1 + \cos x}$ , on reconnaît $f(x) = \ln\!\left|\tan\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|$ .

Exercice 6 Difficile

Type Maturité — combiné

Résoudre le système suivant ( $a, b > 0$ ) :

\begin{cases} e^a \cdot e^b = e^5 \\ \ln a + \ln b = \ln 6 \end{cases}

Solution complète

Première équation : $e^{a+b} = e^5 \Rightarrow a + b = 5$ .

Deuxième équation : $\ln(ab) = \ln 6 \Rightarrow ab = 6$ .

On cherche deux nombres dont la somme vaut 5 et le produit vaut 6. Ce sont les racines de $t^2 - 5t + 6 = 0$ , soit $(t-2)(t-3) = 0$ .

Solutions : $(a,b) = (2,3)$ ou $(a,b) = (3,2)$ . Les deux sont valides car $a,b > 0$ .