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Semaine 3 · 15–21 juin 2026

Transformations & Compositions de Fonctions

Durée estimée: 5–6 heures
Théorie + 6 exercices corrigés
Niveau: Intermédiaire

1. Translations

Définition

À partir d'une fonction f, on construit des fonctions translatées :

Effets graphiques

  • f(x) + k : déplace le graphe de k unités vers le haut (si k > 0) ou vers le bas.
  • f(x - h) : déplace le graphe de h unités vers la droite (si h > 0) ou vers la gauche.
Attention — Signe pour la translation horizontale
f(x - 3) est une translation de 3 unités vers la droite (pas vers la gauche). La confusion vient du signe moins dans la parenthèse.
Exemple

Soit f(x) = x^2. Décris les graphes de :

  • g(x) = x^2 + 3 : parabole décalée de 3 vers le haut, sommet en (0, 3).
  • h(x) = (x-2)^2 : parabole décalée de 2 vers la droite, sommet en (2, 0).
  • k(x) = (x+1)^2 - 4 : sommet en (-1, -4).

2. Homothéties (Dilatations)

Définition

Les homothéties modifient les échelles du graphe :

Effets graphiques

  • a \cdot f(x) : étire (si |a|>1) ou contracte (si 0<|a|<1) verticalement. Si a < 0 : réflexion par rapport à l'axe x.
  • f(bx) : contracte horizontalement (si |b|>1) ou étire (si 0<|b|<1). Si b < 0 : réflexion par rapport à l'axe y.
Récapitulatif — Transformations de base
Transformation Écriture Effet sur le graphe
Translation verticalef(x)+kMonte/descend de k
Translation horizontalef(x-h)Droite de h (si h>0)
Étirement verticala\,f(x)Multiplie les y par a
Étirement horizontalf(bx)Multiplie les x par 1/b
Réflexion axe x-f(x)Retourne verticalement
Réflexion axe yf(-x)Retourne horizontalement

3. Symétries

Types de symétrie
  • Symétrie axiale par rapport à l'axe y : f(-x) = f(x) (fonction paire)
  • Symétrie centrale par rapport à l'origine : f(-x) = -f(x) (fonction impaire)
  • Symétrie par rapport à x = a : f(a+t) = f(a-t) pour tout t

Pour trouver l'axe de symétrie d'une parabole f(x) = a(x-h)^2 + k, l'axe est la droite verticale x = h.

Exemple — Trouver l'axe de symétrie

Trouver l'axe de symétrie de f(x) = 2x^2 - 8x + 5.

Forme canonique : f(x) = 2(x^2 - 4x) + 5 = 2(x-2)^2 - 8 + 5 = 2(x-2)^2 - 3.

L'axe de symétrie est x = 2, et le sommet est (2, -3).

4. Composition de Fonctions

Définition

La composition f \circ g (lire « f rond g ») est définie par :

On applique d'abord g, puis on applique f au résultat.

Attention — Ordre non commutatif
En général, f \circ g \neq g \circ f. L'ordre de composition est important !

Décomposer une fonction composée

Pour reconnaître une composée, cherche une « fonction interne » et une « fonction externe » :

  • h(x) = \sqrt{x^2 + 1} : g(x) = x^2+1 (interne), f(u) = \sqrt{u} (externe).
  • h(x) = e^{3x-1} : g(x) = 3x-1 (interne), f(u) = e^u (externe).
  • h(x) = \ln(\sin x) : g(x) = \sin x (interne), f(u) = \ln u (externe).
Exemple — Calculer (f∘g)(x) et (g∘f)(x)

Soit f(x) = x^2 + 1 et g(x) = 2x - 3.

(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x-3) = (2x-3)^2 + 1 = 4x^2 - 12x + 9 + 1 = 4x^2 - 12x + 10

(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2+1) = 2(x^2+1) - 3 = 2x^2 - 1

Ici f \circ g \neq g \circ f ✓

5. Domaine de la Composée

Règle du domaine

Le domaine de f \circ g est :

Autrement dit : x doit être dans le domaine de g, et le résultat g(x) doit être dans le domaine de f.

Méthode en 3 étapes
  1. Trouver les restrictions de g (domaine de g).
  2. Trouver les restrictions de f appliquées à g(x) (condition g(x) \in D_f).
  3. Prendre l'intersection des deux ensembles de conditions.
Exemple — Domaine de la composée

Soit f(u) = \sqrt{u} (domaine : u \geq 0) et g(x) = 4 - x^2 (domaine : \mathbb{R}).

Trouver le domaine de (f \circ g)(x) = \sqrt{4 - x^2}.

Condition : g(x) \geq 0 \Leftrightarrow 4 - x^2 \geq 0 \Leftrightarrow x^2 \leq 4 \Leftrightarrow -2 \leq x \leq 2.

Donc D_{f \circ g} = [-2;\, 2].

Exercices de la Semaine 3

Exercice 1 Facile
Identifier les transformations

Pour chaque fonction, décris la suite de transformations appliquées à f(x) = x^2 :

  1. g(x) = (x+3)^2 - 5
  2. h(x) = -2x^2
  3. k(x) = \left(\dfrac{x}{3}\right)^2 + 1
Solution complète

1) g(x) = f(x+3) - 5 : translation de 3 vers la gauche (car x - (-3)), puis translation de 5 vers le bas. Sommet : (-3, -5).

2) h(x) = -2 \cdot f(x) : étirement vertical de facteur 2, puis réflexion par rapport à l'axe x (parabole ouverte vers le bas).

3) k(x) = f\!\left(\tfrac{x}{3}\right) + 1 : étirement horizontal de facteur 3 (la parabole est plus large), puis translation de 1 vers le haut.

Exercice 2 Facile
Calcul de composées

Soit f(x) = 3x - 1 et g(x) = x^2 + 2. Calcule :

  1. (f \circ g)(x)
  2. (g \circ f)(x)
  3. (f \circ f)(x)
  4. (f \circ g)(2)
Solution complète

1) (f \circ g)(x) = f(x^2+2) = 3(x^2+2) - 1 = 3x^2 + 5

2) (g \circ f)(x) = g(3x-1) = (3x-1)^2 + 2 = 9x^2 - 6x + 1 + 2 = 9x^2 - 6x + 3

3) (f \circ f)(x) = f(3x-1) = 3(3x-1) - 1 = 9x - 4

4) (f \circ g)(2) = 3(2)^2 + 5 = 12 + 5 = 17

Exercice 3 Intermédiaire
Domaine de la composée

Pour chaque paire, trouve le domaine de f \circ g et calcule (f \circ g)(x) :

  1. f(x) = \ln x, g(x) = x^2 - 4
  2. f(x) = \sqrt{x}, g(x) = 9 - x^2
  3. f(x) = \dfrac{1}{x}, g(x) = x^2 - 1
Solution complète

1) (f \circ g)(x) = \ln(x^2-4). Condition : x^2 - 4 > 0 \Leftrightarrow |x| > 2. Domaine : (-\infty; -2) \cup (2; +\infty).

2) (f \circ g)(x) = \sqrt{9 - x^2}. Condition : 9 - x^2 \geq 0 \Leftrightarrow |x| \leq 3. Domaine : [-3;\, 3].

3) (f \circ g)(x) = \dfrac{1}{x^2-1}. Condition : x^2 - 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pm 1. Domaine : \mathbb{R} \setminus \{-1;\, 1\}.

Exercice 4 Intermédiaire
Décomposition d'une composée

Pour chaque fonction h, trouve des fonctions f et g telles que h = f \circ g (ne choisis pas f(x) = x ni g(x) = x) :

  1. h(x) = \sqrt{2x^2 - 3x + 1}
  2. h(x) = e^{x^3 - 2x}
  3. h(x) = \ln^2(x) (i.e., (\ln x)^2)
Solution complète

1) g(x) = 2x^2 - 3x + 1, f(u) = \sqrt{u}. Vérification : f(g(x)) = \sqrt{2x^2-3x+1} = h(x) ✓

2) g(x) = x^3 - 2x, f(u) = e^u. Vérification : f(g(x)) = e^{x^3-2x} = h(x) ✓

3) g(x) = \ln x, f(u) = u^2. Vérification : f(g(x)) = (\ln x)^2 = h(x) ✓

Exercice 5 Difficile
Transformations — reconstruction

Soit f une fonction dont le graphe passe par (-2, 3), (0, 1) et (4, -2).

  1. Détermine les points correspondants du graphe de g(x) = 2f(x-1) + 3.
  2. Détermine les points correspondants du graphe de h(x) = -f(-x).
Solution complète

Méthode pour g : Si (a, b) est sur le graphe de f, alors f(a) = b. Pour g : on a g(x) = 2f(x-1)+3, donc si x - 1 = a, c'est-à-dire x = a+1, alors g(a+1) = 2b + 3.

1) Points de g : (-1,\; 2\cdot3+3) = (-1,\; 9) ; (1,\; 2\cdot1+3) = (1,\; 5) ; (5,\; 2\cdot(-2)+3) = (5,\; -1).

Méthode pour h : h(x) = -f(-x). Si f(a) = b, alors h(-a) = -f(-(-a)) = -f(a) = -b.

2) Points de h : (2, -3) ; (0, -1) ; (-4, 2).

Exercice 6 Difficile
Type Maturité — Composée et domaine

Soit f(x) = \sqrt{x-1} et g(x) = \dfrac{1}{x^2-4}.

  1. Trouve le domaine D_f et D_g.
  2. Calcule (f \circ g)(x) et détermine son domaine.
  3. Calcule (g \circ f)(x) et détermine son domaine.
Solution complète

1) D_f = [1; +\infty) ; D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}.

2) (f \circ g)(x) = f\!\left(\dfrac{1}{x^2-4}\right) = \sqrt{\dfrac{1}{x^2-4} - 1} = \sqrt{\dfrac{1 - (x^2-4)}{x^2-4}} = \sqrt{\dfrac{5-x^2}{x^2-4}}.

Conditions : x \neq \pm 2 (domaine de g) et g(x) \geq 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{x^2-4} \geq 1.

Cas x^2 > 4 (|x| > 2) : \dfrac{1}{x^2-4} \geq 1 \Rightarrow 1 \geq x^2 - 4 \Rightarrow x^2 \leq 5, soit |x| \leq \sqrt{5}. Donc x \in (2; \sqrt{5}] ou x \in [-\sqrt{5}; -2).

Cas x^2 < 4 : dénominateur < 0, fraction < 0 < 1 : pas de solution.

D_{f \circ g} = [-\sqrt{5};\, -2) \cup (2;\, \sqrt{5}].

3) (g \circ f)(x) = g(\sqrt{x-1}) = \dfrac{1}{(\sqrt{x-1})^2 - 4} = \dfrac{1}{x - 1 - 4} = \dfrac{1}{x-5}.

Conditions : x \geq 1 (domaine de f) et f(x) \in D_g, soit x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5.

D_{g \circ f} = [1;\, 5) \cup (5;\, +\infty).