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Semaine 5 · 29 juin–5 juillet 2026

Formes Indéterminées & Techniques de Levée

Durée estimée: 6–7 heures
Théorie + 6 exercices corrigés
Niveau: Intermédiaire–Avancé

1. Qu'est-ce qu'une Forme Indéterminée ?

Définition

Une forme indéterminée est une expression dont la limite ne peut pas être déterminée par simple substitution car elle produit une expression sans valeur définie. Les formes indéterminées classiques sont :

L'existence d'une forme indéterminée ne signifie pas que la limite n'existe pas — elle signifie seulement qu'une technique supplémentaire est nécessaire pour la calculer.

Ordre de priorité des méthodes
  1. Factorisation → pour les formes \tfrac{0}{0} (polynômes, expressions algébriques)
  2. Division par x^n → pour les formes \tfrac{\infty}{\infty} (fractions rationnelles à l'infini)
  3. Conjugaison → pour les formes \infty - \infty (différences de racines)
  4. Limite fondamentale \tfrac{\sin x}{x} → pour les formes trig en 0
  5. Règle de L'Hôpital → en dernier recours pour \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty}

2. Forme Indéterminée \tfrac{0}{0} — Factorisation

Méthode

Quand la substitution directe donne \tfrac{0}{0}, le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun (x - a). On factorise et on simplifie avant de prendre la limite.

Exemple 1 — Factorisation simple

Calculer \displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}.

Substitution directe : \dfrac{4-4}{2-2} = \dfrac{0}{0} (indéterminé).

Factorisation : \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2 pour x \neq 2.

Donc \displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2}(x+2) = 4.

Exemple 2 — Factorisation du numérateur

Calculer \displaystyle\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 9}.

\dfrac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \dfrac{x-2}{x+3} pour x \neq 3.

Limite : \dfrac{3-2}{3+3} = \dfrac{1}{6}.

3. Forme Indéterminée \tfrac{\infty}{\infty} — Division par x^n

Méthode

Pour une fraction rationnelle quand x \to \pm\infty, diviser numérateur et dénominateur par la plus haute puissance de x présente au dénominateur.

Règle pratique — Degrés comparés

Pour \displaystyle\lim_{x\to\infty} \dfrac{P(x)}{Q(x)} avec \deg P = p, \deg Q = q :

  • Si p < q : limite = 0
  • Si p = q : limite = rapport des coefficients dominants
  • Si p > q : limite = \pm\infty
Exemple

Calculer \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 - 2x + 1}{5x^2 + x - 4}.

Division par x^2 :

4. Forme Indéterminée \infty - \infty — Conjugaison

Méthode — Expression conjuguée

Pour des différences impliquant des racines carrées, multiplier par l'expression conjuguée :

Exemple 1

Calculer \displaystyle\lim_{x \to +\infty}\!\left(\sqrt{x^2 + x} - x\right).

Multiplication par le conjugué :

Division par x (positif) : \dfrac{1}{\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}+1} \xrightarrow{x\to+\infty} \dfrac{1}{1+1} = \dfrac{1}{2}.

Exemple 2 — Forme ∞−∞ avec polynômes

Calculer \displaystyle\lim_{x\to 1}\!\left(\dfrac{1}{x-1} - \dfrac{2}{x^2-1}\right).

Réduire au même dénominateur : \dfrac{x+1}{x^2-1} - \dfrac{2}{x^2-1} = \dfrac{x-1}{x^2-1} = \dfrac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{1}{x+1}.

Limite : \dfrac{1}{1+1} = \dfrac{1}{2}.

5. Limite Fondamentale \dfrac{\sin x}{x}

Théorème fondamental

Cette limite est fondamentale en analyse et sert de base au calcul des dérivées des fonctions trigonométriques.

Limites dérivées

  • \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1
  • \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2} = \dfrac{1}{2}
  • \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(ax)}{x} = a pour tout a \in \mathbb{R}
Exemple

Calculer \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(3x)}{5x}.

Manipulation : \dfrac{\sin(3x)}{5x} = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{\sin(3x)}{3x}.

En posant u = 3x \to 0 : \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{\sin u}{u} \to \dfrac{3}{5} \cdot 1 = \dfrac{3}{5}.

6. Règle de L'Hôpital

Théorème — Règle de L'Hôpital

Si \displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} g(x) = 0 (ou \pm\infty), et si g'(x) \neq 0 au voisinage de a, alors :

à condition que cette dernière limite existe.

Attention — Conditions d'application
L'Hôpital ne s'applique qu'aux formes \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty}. Vérifie toujours que la forme est bien indéterminée avant d'appliquer la règle. On dérive séparément numérateur et dénominateur (ce n'est pas la règle du quotient !).
Exemple 1 — Forme 0/0

Calculer \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{e^x - 1 - x}{x^2}.

Substitution : \tfrac{0}{0}. Application de L'Hôpital :

\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{e^x - 1}{2x} → encore \tfrac{0}{0}. Deuxième application :

\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{e^x}{2} = \dfrac{1}{2}.

Exemple 2 — Forme ∞/∞

Calculer \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\ln x}{x}.

Forme \tfrac{\infty}{\infty}. L'Hôpital : \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{1/x}{1} = \lim_{x\to+\infty} \dfrac{1}{x} = 0.

Conclusion : le logarithme croît infiniment plus lentement que x.

Exercices de la Semaine 5

Exercice 1 Facile
Forme 0/0 — factorisation

Calculer les limites suivantes (forme \tfrac{0}{0}) :

  1. \displaystyle\lim_{x\to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}
  2. \displaystyle\lim_{x\to -2} \dfrac{x^2 + 5x + 6}{x + 2}
  3. \displaystyle\lim_{x\to 4} \dfrac{x^2 - 16}{x^2 - 3x - 4}
Solution complète

1) \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1 \xrightarrow{x\to 1} 2.

2) \dfrac{(x+2)(x+3)}{x+2} = x+3 \xrightarrow{x\to -2} 1.

3) \dfrac{(x-4)(x+4)}{(x-4)(x+1)} = \dfrac{x+4}{x+1} \xrightarrow{x\to 4} \dfrac{8}{5}.

Exercice 2 Facile
Forme ∞/∞ — comportement à l'infini

Calculer les limites suivantes quand x \to +\infty :

  1. \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{4x^3 - 2x}{7x^3 + x^2 - 1}
  2. \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{x^2 + 1}{3x^3 - 5}
  3. \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{5x^4 - 1}{x^2 + 2}
Solution complète

1) Même degré (3). Rapport des coeff. dominants : \dfrac{4}{7}.

2) Degré numérateur (2) < degré dénominateur (3) → limite = 0.

3) Degré numérateur (4) > degré dénominateur (2) → \dfrac{5x^4}{x^2} = 5x^2 \to +\infty.

Exercice 3 Intermédiaire
Forme ∞−∞ — conjugaison

Calculer les limites :

  1. \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\!\left(\sqrt{x+1} - \sqrt{x}\right)
  2. \displaystyle\lim_{x\to 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
  3. \displaystyle\lim_{x\to 0}\!\left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\sin x}\right)
Solution complète

1) Conjugué : (\sqrt{x+1}-\sqrt{x})\cdot\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \to 0.

2) Forme \tfrac{0}{0}. Conjugué au numérateur : \dfrac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)} = \dfrac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)} = \dfrac{1}{\sqrt{x}+2} \xrightarrow{x\to 4} \dfrac{1}{4}.

3) Réduction : \dfrac{\sin x - x}{x\sin x}. Numérateur : \sin x - x \approx -\dfrac{x^3}{6} quand x\to 0 ; dénominateur \approx x^2. Donc \approx \dfrac{-x^3/6}{x^2} = -\dfrac{x}{6} \to 0.

Exercice 4 Intermédiaire
Limite fondamentale sin(x)/x

Calculer les limites en utilisant la limite fondamentale \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1 :

  1. \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(5x)}{3x}
  2. \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(2x)}{\sin(7x)}
  3. \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{x^2}{\sin^2 x}
  4. \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}
Solution complète

1) \dfrac{\sin(5x)}{3x} = \dfrac{5}{3}\cdot\dfrac{\sin(5x)}{5x} \to \dfrac{5}{3}\cdot 1 = \dfrac{5}{3}.

2) \dfrac{\sin(2x)}{\sin(7x)} = \dfrac{\sin(2x)}{2x}\cdot\dfrac{7x}{\sin(7x)}\cdot\dfrac{2}{7} \to 1\cdot1\cdot\dfrac{2}{7} = \dfrac{2}{7}.

3) \left(\dfrac{x}{\sin x}\right)^2 = \left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^{-2} \to 1^{-2} = 1.

4) Identité : 1 - \cos x = 2\sin^2\!\left(\tfrac{x}{2}\right). Donc \dfrac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = \dfrac{2\sin^2(x/2)}{4(x/2)^2} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2 \to \dfrac{1}{2}.

Exercice 5 Difficile
Règle de L'Hôpital

Appliquer la règle de L'Hôpital pour calculer :

  1. \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{e^x - 1}{x}
  2. \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{e^{2x} - 1 - 2x}{x^2}
  3. \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{x^3}{e^x}
Solution complète

1) Forme \tfrac{0}{0}. \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x}{1} = 1.

2) Forme \tfrac{0}{0}. L'Hôpital : \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{2e^{2x}-2}{2x} → encore \tfrac{0}{0}. L'Hôpital à nouveau : \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{4e^{2x}}{2} = \dfrac{4}{2} = 2.

3) Forme \tfrac{\infty}{\infty}. Trois applications successives de L'Hôpital :

\dfrac{x^3}{e^x} \to \dfrac{3x^2}{e^x} \to \dfrac{6x}{e^x} \to \dfrac{6}{e^x} \to 0.

Conclusion : e^x croît infiniment plus vite que tout polynôme.

Exercice 6 Difficile
Type Maturité — combiné

Calculer les limites suivantes (choisir la meilleure méthode dans chaque cas) :

  1. \displaystyle\lim_{x\to 1} \dfrac{x^3 - 3x + 2}{x^2 - 1}
  2. \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\!\left(\sqrt{x^2 + 3x} - x\right)
  3. \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x}
Solution complète

1) Factorisation : x^3 - 3x + 2 = (x-1)(x^2+x-2) = (x-1)^2(x+2) ; x^2-1 = (x-1)(x+1).

\dfrac{(x-1)^2(x+2)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{(x-1)(x+2)}{x+1} \xrightarrow{x\to 1} \dfrac{0 \cdot 3}{2} = 0.

2) Conjugaison :

3) L'Hôpital : Forme \tfrac{0}{0}. \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1/(1+x)}{1} = 1. (Ou reconnaître la définition de la dérivée de \ln en x=0.)