Semaine 6 — Continuité & Asymptotes

1. Continuité en un Point

Définition

Une fonction $f$ est continue en $a$ si les trois conditions suivantes sont satisfaites :

\text{(1) } f(a) \text{ existe} \qquad \text{(2) } \lim_{x\to a} f(x) \text{ existe} \qquad \text{(3) } \lim_{x\to a} f(x) = f(a)

Si l'une de ces conditions est violée, $f$ est discontinue en $a$ .

Continuité sur un intervalle

$f$ est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en tout point de $I$ . Les fonctions suivantes sont continues sur leur domaine :

Tous les polynômes sur $\mathbb{R}$
Les fonctions rationnelles sur leur domaine
$\sin x$ , $\cos x$ sur $\mathbb{R}$ ; $\tan x$ sur son domaine
$e^x$ sur $\mathbb{R}$ ; $\ln x$ sur $(0, +\infty)$

Exemple — Fonction par morceaux

Soit $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x < 2 \\ 3x - 5 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$ . Étudier la continuité en $x = 2$ .

$\displaystyle\lim_{x\to 2^-} f(x) = 4 - 1 = 3$

$\displaystyle\lim_{x\to 2^+} f(x) = 6 - 5 = 1$ et $f(2) = 1$

Les limites latérales sont différentes → $f$ est discontinue en $x = 2$ (saut de 3 à 1).

2. Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

Théorème (TVI)

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle fermé $[a, b]$ . Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que :

f(c) = k

Corollaire — Existence d'une racine

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés, alors il existe au moins un $c \in (a, b)$ tel que $f(c) = 0$ .

Ce corollaire est la base de la méthode de dichotomie pour trouver des racines numériquement.

Exemple — Application du TVI

Montrer que $f(x) = x^3 - 2x - 5$ possède une racine dans $[2, 3]$ .

$f(2) = 8 - 4 - 5 = -1 < 0$

$f(3) = 27 - 6 - 5 = 16 > 0$

$f$ est un polynôme (continue), $f(2) < 0 < f(3)$ → par le TVI, il existe $c \in (2, 3)$ tel que $f(c) = 0$ .

3. Types de Discontinuités

Trois types de discontinuités

Discontinuité effaçable (trou) : $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)$ existe mais ≠ $f(a)$ (ou $f(a)$ non défini). Peut être « réparée » en redéfinissant $f(a)$ .
Discontinuité par saut : Les limites latérales $\displaystyle\lim_{x\to a^-} f(x) \neq \lim_{x\to a^+} f(x)$ existent mais sont différentes.
Discontinuité infinie : $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty$ (asymptote verticale).

Exemples des trois types

Effaçable : $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}$ en $x=1$ (trou, limite = 2)
Saut : $f(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ 1 & x \geq 0 \end{cases}$ en $x=0$
Infinie : $f(x) = \dfrac{1}{x}$ en $x=0$

4. Asymptotes Verticales

Définition

La droite $x = a$ est une asymptote verticale de $f$ si :

\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty

Méthode — Trouver les AV

Identifier les points où $f$ n'est pas définie.
Vérifier si les limites latérales sont infinies.
Si oui → asymptote verticale. Si les limites latérales sont finies → trou (pas d'AV).

Exemple

Trouver les AV de $f(x) = \dfrac{x+1}{x^2-x-6} = \dfrac{x+1}{(x-3)(x+2)}$ .

Candidats : $x = 3$ et $x = -2$ . Aucun facteur commun avec le numérateur (car $x+1 \neq 0$ en ces points).

$\displaystyle\lim_{x\to 3} f(x) = \pm\infty$ → AV en $x = 3$ . De même en $x = -2$ .

5. Asymptotes Horizontales

Définition

La droite $y = L$ est une asymptote horizontale de $f$ si :

\lim_{x \to +\infty} f(x) = L \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = L

Pour les fonctions rationnelles $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ :

Si $\deg P < \deg Q$ : AH en $y = 0$
Si $\deg P = \deg Q$ : AH en $y = \dfrac{\text{coeff. dominant de } P}{\text{coeff. dominant de } Q}$
Si $\deg P > \deg Q$ : pas d'AH

Exemple

Trouver les AH de $f(x) = \dfrac{2x^2 - 1}{x^2 + 3}$ .

Degrés égaux (2 = 2). Rapport des coefficients dominants : $\dfrac{2}{1} = 2$ .

AH : $y = 2$ (des deux côtés).

6. Asymptotes Obliques

Définition

La droite $y = ax + b$ est une asymptote oblique de $f$ quand $x \to \pm\infty$ si :

a = \lim_{x\to\pm\infty} \frac{f(x)}{x} \quad \text{et} \quad b = \lim_{x\to\pm\infty}\bigl[f(x) - ax\bigr]

Méthode — Division euclidienne

Pour une fonction rationnelle avec $\deg P = \deg Q + 1$ , effectuer la division euclidienne de $P$ par $Q$ :

\frac{P(x)}{Q(x)} = (ax + b) + \frac{R(x)}{Q(x)}

où $R(x)$ est le reste. Comme $\dfrac{R(x)}{Q(x)} \to 0$ quand $x \to \pm\infty$ , l'asymptote oblique est $y = ax + b$ .

Exemple

Trouver l'asymptote oblique de $f(x) = \dfrac{x^2 + 2x - 3}{x - 1}$ .

Division euclidienne : $x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3) + 0$ .

Donc $f(x) = x + 3$ (avec un trou en $x=1$ , pas d'asymptote oblique séparée ici).

Exemple non trivial : $g(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 2} = x + 2 + \dfrac{5}{x-2}$ . AO : $y = x + 2$ .

Exercices de la Semaine 6

Exercice 1 Facile

Continuité — définition

Étudier la continuité de chaque fonction au point indiqué :

$f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ en $x = 3$
$g(x) = \begin{cases} 2x+1 & x \leq 1 \\ x^2 + 2 & x > 1 \end{cases}$ en $x = 1$

Solution complète

1) $f(3)$ non défini (dénominateur nul). $\displaystyle\lim_{x\to 3}\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x\to 3}(x+3) = 6$ . La limite existe mais $f(3)$ n'est pas défini → discontinuité effaçable en $x=3$ . On peut la rendre continue en posant $f(3) = 6$ .

2) $g(1) = 2(1)+1 = 3$ . $\displaystyle\lim_{x\to 1^-}g(x) = 3$ et $\displaystyle\lim_{x\to 1^+}g(x) = 1+2 = 3$ . Les deux limites coïncident avec $g(1)$ → $g$ est continue en $x=1$ .

Exercice 2 Facile

TVI — existence de racines

Utiliser le TVI pour montrer l'existence d'une racine :

$f(x) = x^3 + x - 1$ sur $[0;\, 1]$
$g(x) = e^x - 3x$ sur $[0;\, 1]$

Solution complète

1) $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1+1-1 = 1 > 0$ . $f$ est continue (polynôme), donc par le TVI il existe $c \in (0, 1)$ avec $f(c) = 0$ .

2) $g(0) = 1 - 0 = 1 > 0$ et $g(1) = e - 3 \approx 2{,}718 - 3 = -0{,}282 < 0$ . $g$ est continue, donc par le TVI il existe $c \in (0, 1)$ avec $g(c) = 0$ .

Exercice 3 Intermédiaire

Asymptotes verticales et horizontales

Pour chaque fonction, trouver toutes les asymptotes verticales et horizontales :

$f(x) = \dfrac{3x}{x^2 - 1}$
$g(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x^2 + x - 6}$

Solution complète

1) $f(x) = \dfrac{3x}{(x-1)(x+1)}$ .

AV : $x = 1$ et $x = -1$ (numérateur non nul en ces points).

AH : $\deg(3x) = 1 < \deg(x^2-1) = 2$ , donc AH : $y = 0$ .

2) $g(x) = \dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+3)}$ . Facteur commun $(x-2)$ → simplification.

Pour $x \neq 2$ : $g(x) = \dfrac{x+2}{x+3}$ . Trou en $x=2$ (pas d'AV). AV : $x = -3$ .

AH : degrés égaux → $y = 1$ .

Exercice 4 Intermédiaire

Asymptote oblique

Trouver l'asymptote oblique de chaque fonction :

$f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 1}{x + 2}$
$g(x) = \dfrac{2x^2 - x + 3}{x - 1}$

Solution complète

1) Division euclidienne :

$x^2 + 3x + 1 \div (x+2)$ : $x^2 + 3x + 1 = (x+2)(x+1) + (-1)$ .

Donc $f(x) = x + 1 - \dfrac{1}{x+2}$ . AO : $y = x + 1$ .

2) Division euclidienne :

$2x^2 - x + 3 = (x-1)(2x+1) + 4$ .

Donc $g(x) = 2x + 1 + \dfrac{4}{x-1}$ . AO : $y = 2x + 1$ .

Exercice 5 Difficile

Comportement en ±∞ — fonctions irrationnelles

Étudier le comportement à l'infini et trouver les asymptotes éventuelles :

$f(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 1} - x$ quand $x \to +\infty$ et $x \to -\infty$
$g(x) = x - \sqrt{x^2 - 1}$ quand $x \to +\infty$

Solution complète

1) Conjugué : $(\sqrt{x^2+4x+1}-x)\cdot\dfrac{\sqrt{x^2+4x+1}+x}{\sqrt{x^2+4x+1}+x} = \dfrac{4x+1}{\sqrt{x^2+4x+1}+x}$ .

Quand $x\to+\infty$ : diviser par $x$ → $\dfrac{4+1/x}{\sqrt{1+4/x+1/x^2}+1} \to \dfrac{4}{2} = 2$ . AH : $y = 2$ .

Quand $x\to-\infty$ : $x = -|x|$ , $\sqrt{x^2+4x+1} = |x|\sqrt{1+4/x+1/x^2}$ . Numérateur $\to -\infty$ . La fonction $\to +\infty$ (comportement asymptotiquement linéaire avec pente 2 et décalage).

2) Conjugué : $\dfrac{x^2-(x^2-1)}{x+\sqrt{x^2-1}} = \dfrac{1}{x+\sqrt{x^2-1}} \to 0$ quand $x\to+\infty$ . AH : $y = 0$ .

Exercice 6 Difficile

Type Maturité — analyse complète

Analyser complètement la fonction $f(x) = \dfrac{x^2 - 2x}{x^2 - x - 2}$ :

Domaine de définition
Asymptotes verticales, horizontales (et obliques si nécessaire)
Continuité — y a-t-il des discontinuités effaçables ?
Comportement aux bords du domaine

Solution complète

1) Domaine : $x^2-x-2 = (x-2)(x+1) = 0 \Rightarrow x \in \{-1;\, 2\}$ . $D_f = \mathbb{R}\setminus\{-1;\,2\}$ .

2) Factorisation : $f(x) = \dfrac{x(x-2)}{(x-2)(x+1)}$ .

Facteur commun $(x-2)$ → simplification : $f(x) = \dfrac{x}{x+1}$ pour $x \neq 2$ .

AV : $x = -1$ (vrai pôle). En $x=2$ : trou.

AH : $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x}{x+1} = 1$ . AH : $y = 1$ .

Pas d'AO (deg numérateur = deg dénominateur).

3) Discontinuité effaçable en $x=2$ : $\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x) = \dfrac{2}{3}$ mais $f(2)$ non défini. On peut la réparer en posant $f(2) = \dfrac{2}{3}$ .

4) En $x\to -1^+$ : $x+1 \to 0^+$ , $x\to-1$ → $f\to -\infty$ . En $x\to-1^-$ : $f\to+\infty$ .