Semaine 4 — Introduction aux Limites

1. Notion Intuitive de Limite

Définition intuitive

On dit que $f(x)$ tend vers $L$ quand $x$ tend vers $a$ si les valeurs de $f(x)$ se rapprochent de plus en plus de $L$ lorsque $x$ s'approche de $a$ (sans nécessairement atteindre $a$ ).

\lim_{x \to a} f(x) = L

Remarque fondamentale

La limite concerne ce qui se passe autour de

a

, pas nécessairement en

a

. La fonction peut même ne pas être définie en

a

!

Exemple illustratif

Considère $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ . Cette fonction n'est pas définie en $x = 1$ .

Pourtant, pour $x \neq 1$ : $\dfrac{x^2-1}{x-1} = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1$

Donc $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2$

2. Limites Finies

Propriété

Limite d'une fonction polynôme ou rationnelle (sans 0/0)

Si $f$ est une fonction polynôme, alors : $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Si $f$ est une fraction rationnelle et $f(a)$ est défini (dénominateur ≠ 0), alors la même règle s'applique.

Exemples de limites directes

Calcul direct

$\lim_{x \to 3} (x^2 + 2x) = 9 + 6 = 15$
$\lim_{x \to 2} \dfrac{x+1}{x-5} = \dfrac{3}{-3} = -1$
$\lim_{x \to 0} \sin x = 0$
$\lim_{x \to \pi} \cos x = -1$

3. Limites en l'Infini

Notation

On écrit $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ si $f(x)$ se rapproche de $L$ quand $x$ devient très grand.

On écrit $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ si $f(x)$ devient arbitrairement grand.

Limites des fonctions de référence

À mémoriser

\lim_{x\to+\infty} x^n = +\infty \quad (n>0), \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x^n} = 0

\lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty} e^x = 0

\lim_{x\to+\infty} \ln x = +\infty, \qquad \lim_{x\to 0^+} \ln x = -\infty

Croissances comparées (très important !)

Hiérarchie des croissances — à l'infini

\ln x \ll x^n \ll e^x \quad (x \to +\infty)

Cela signifie que pour tout $n > 0$ :

\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0 \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0

4. Limites Latérales

Définitions

Limite à droite : $\lim_{x \to a^+} f(x)$ — on approche $a$ par des valeurs supérieures à $a$ .

Limite à gauche : $\lim_{x \to a^-} f(x)$ — on approche $a$ par des valeurs inférieures à $a$ .

Théorème crucial

$\lim_{x \to a} f(x) = L$ si et seulement si

\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L

Si les limites latérales sont différentes, la limite en $a$ n'existe pas.

Exemple — Limite de 1/x

$\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$ (quand $x \to 0$ par valeurs positives)

$\lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty$ (quand $x \to 0$ par valeurs négatives)

Les deux limites latérales sont différentes → $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}$ n'existe pas.

5. Règles Opératoires sur les Limites

Propriétés fondamentales

Si $\lim_{x\to a} f(x) = L$ et $\lim_{x\to a} g(x) = M$ , alors :

\lim_{x\to a}[f(x)+g(x)] = L+M

\lim_{x\to a}[f(x)\cdot g(x)] = L\cdot M

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} \quad \text{si } M \neq 0

Formes Indéterminées

Formes indéterminées — ne pas appliquer les règles directement

Les formes 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 × ∞ sont indéterminées. Il faut les lever par factorisation, conjugaison ou autre technique. Voir Semaine 5.

Exercices de la Semaine 4

Exercice 1 Facile

Limites directes

Calcule les limites suivantes (calcul direct) :

$\lim_{x \to 2} (3x^2 - x + 5)$
$\lim_{x \to -1} \dfrac{x^2 + 3}{2x + 5}$
$\lim_{x \to 0} e^{2x}$
$\lim_{x \to \pi/2} \sin x$

Solution

1) $3(4) - 2 + 5 = 15$

2) $\dfrac{1+3}{-2+5} = \dfrac{4}{3}$

3) $e^0 = 1$

4) $\sin(\pi/2) = 1$

Exercice 2 Facile

Limites à l'infini

Calcule les limites suivantes :

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^3}$
$\lim_{x \to -\infty} e^x$
$\lim_{x \to +\infty} (5x^3 - 2x)$ — terme dominant
$\lim_{x \to 0^+} \ln x$

Solution

1) $0$

2) $0$

3) Le terme dominant est $5x^3 \to +\infty$ , donc la limite est $+\infty$

4) $-\infty$

Exercice 3 Intermédiaire

Limites latérales

Pour chaque fonction, calcule la limite à gauche et à droite en $a$ , puis détermine si la limite existe.

$f(x) = \dfrac{1}{x+2}$ en $a = -2$
$g(x) = \dfrac{|x|}{x}$ en $a = 0$

Solution

1) Quand $x \to -2^-$ , $x+2 \to 0^-$ , donc $\frac{1}{x+2} \to -\infty$ .

Quand $x \to -2^+$ , $x+2 \to 0^+$ , donc $\frac{1}{x+2} \to +\infty$ .

Limites différentes → la limite en $-2$ n'existe pas.

2) Pour $x > 0$ : $\frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1$ , donc $\lim_{x\to 0^+} g(x) = 1$ .

Pour $x < 0$ : $\frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1$ , donc $\lim_{x\to 0^-} g(x) = -1$ .

Les limites latérales sont différentes → la limite en $0$ n'existe pas.

Exercice 4 Intermédiaire

Règles opératoires

En utilisant les règles opératoires, calcule les limites (pas de forme indéterminée) :

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2+1}{x^2+x+1}$ — divise par $x^2$
$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{5x-1}{2x+3}$
$\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^2$

Solution

1) $\dfrac{3+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} \to \dfrac{3+0}{1+0+0} = 3$

2) $\dfrac{5-\frac{1}{x}}{2+\frac{3}{x}} \to \dfrac{5}{2}$

3) $\left(1 + 0\right)^2 = 1$

Exercice 5 Difficile

Croissances comparées

Calcule les limites suivantes en utilisant les croissances comparées :

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^5}{e^x}$
$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}$
$\lim_{x \to +\infty} x \cdot e^{-x}$

Solution

1) Par croissances comparées ( $x^n \ll e^x$ ) : $\lim_{x\to+\infty} \dfrac{x^5}{e^x} = 0$

2) Par croissances comparées ( $\ln x \ll x^{1/2}$ ) : $\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0$

3) $x \cdot e^{-x} = \dfrac{x}{e^x} \to 0$ par croissances comparées.

Exercice 6 Difficile

Type Maturité

Soit $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si } x < 2 \\ 3x - 1 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$

Calcule $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ et $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ .
La limite en $x = 2$ existe-t-elle ? La fonction est-elle continue en $2$ ?
Calcule $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .

Solution

1) $\lim_{x\to 2^-} f(x) = (2)^2+1 = 5$ et $\lim_{x\to 2^+} f(x) = 3(2)-1 = 5$

2) Les deux limites latérales sont égales à 5, donc $\lim_{x\to 2} f(x) = 5$ . De plus $f(2) = 3(2)-1 = 5$ . Comme $f(2) = \lim_{x\to 2} f(x) = 5$ , la fonction est continue en 2.

3) Pour $x \geq 2$ , $f(x) = 3x - 1 \to +\infty$ .