Semaine 7 — Dérivées via Limites

1. Taux de Variation

Définition

Le taux de variation moyen de $f$ entre $x_0$ et $x_0 + h$ est :

\tau(h) = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \quad (h \neq 0)

Géométriquement, c'est la pente de la sécante passant par les points $(x_0, f(x_0))$ et $(x_0+h, f(x_0+h))$ .

Quand $h \to 0$ , la sécante tend vers la tangente au point $(x_0, f(x_0))$ . La pente de cette tangente est la dérivée.

Exemple — Taux de variation de x²

Pour $f(x) = x^2$ en $x_0 = 2$ :

$\tau(h) = \dfrac{(2+h)^2 - 4}{h} = \dfrac{4 + 4h + h^2 - 4}{h} = \dfrac{h(4+h)}{h} = 4 + h$

Quand $h \to 0$ : $\tau(h) \to 4$ . La pente de la tangente en $x=2$ est 4.

2. Définition de la Dérivée

Définition

La dérivée de $f$ en $x_0$ est la limite du taux de variation quand $h \to 0$ :

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

Si cette limite existe et est finie, $f$ est dérivable en $x_0$ .

La fonction dérivée $f'$ associe à chaque $x$ la valeur $f'(x)$ (lorsqu'elle existe). Notations équivalentes :

f'(x) = \frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}[f(x)] = \dot{f}(x)

Dérivabilité implique continuité

Si

f

est dérivable en

x_0

, alors

f

est continue en

x_0

. La réciproque est fausse :

f(x) = |x|

est continue en 0 mais non dérivable en 0.

Exemple — Calculer f'(x) par définition

Calculer $f'(x)$ pour $f(x) = x^3$ par la définition.

\frac{(x+h)^3 - x^3}{h} = \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2 \xrightarrow{h\to 0} 3x^2

Donc $(x^3)' = 3x^2$ .

3. Règles de Dérivation

Les quatre règles fondamentales

Pour $f$ et $g$ dérivables, $c \in \mathbb{R}$ :

\begin{aligned} \textbf{Somme :} &\quad (f+g)' = f' + g' \\ \textbf{Produit :} &\quad (fg)' = f'g + fg' \\ \textbf{Quotient :} &\quad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} \quad (g\neq 0) \\ \textbf{Composée :} &\quad (f\circ g)' = (f'\circ g)\cdot g' \end{aligned}

Règle de la chaîne — Clé du programme

La règle de la composée (ou « règle de la chaîne ») est la règle la plus utilisée à l'examen. Identifier correctement la fonction « interne » et la fonction « externe » :

\bigl[f(g(x))\bigr]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Exemple : $\bigl[\sin(3x^2)\bigr]' = \cos(3x^2) \cdot 6x$

Exemple — Règle du produit

Dériver $h(x) = x^2 \cdot e^x$ .

$f = x^2$ , $g = e^x$ , $f' = 2x$ , $g' = e^x$ .

$h'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = e^x(2x + x^2) = x e^x(x+2)$

Exemple — Règle du quotient

Dériver $h(x) = \dfrac{x^2 + 1}{2x - 3}$ .

$h'(x) = \dfrac{2x(2x-3) - (x^2+1)\cdot 2}{(2x-3)^2} = \dfrac{4x^2 - 6x - 2x^2 - 2}{(2x-3)^2} = \dfrac{2x^2 - 6x - 2}{(2x-3)^2} = \dfrac{2(x^2 - 3x - 1)}{(2x-3)^2}$

4. Tableau des Dérivées Usuelles

Tableau à mémoriser

Fonction $f(x)$	Dérivée $f'(x)$	Domaine
$c$ (constante)	$0$	$\mathbb{R}$
$x^n$	$nx^{n-1}$	$\mathbb{R}$ (si $n \geq 1$ )
$\sqrt{x} = x^{1/2}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$(0,+\infty)$
$e^x$	$e^x$	$\mathbb{R}$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$(0,+\infty)$
$\sin x$	$\cos x$	$\mathbb{R}$
$\cos x$	$-\sin x$	$\mathbb{R}$
$\tan x$	$\dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$	Dom. de $\tan$
$a^x$ ( $a>0$ )	$a^x \ln a$	$\mathbb{R}$

Règle de la chaîne appliquée aux usuelles

Pour toute fonction

u(x)

:

$\bigl[e^{u(x)}\bigr]' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$
$\bigl[\ln(u(x))\bigr]' = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$
$\bigl[\sin(u(x))\bigr]' = u'(x)\cos(u(x))$
$\bigl[u(x)^n\bigr]' = n\,u'(x)\,u(x)^{n-1}$

5. Équation de la Tangente

Définition

L'équation de la tangente au graphe de $f$ au point $(x_0, f(x_0))$ est :

y = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)

La pente de la tangente est $f'(x_0)$ , et elle passe par le point $(x_0, f(x_0))$ .

Exemple

Trouver l'équation de la tangente à $f(x) = x^3 - 2x + 1$ au point d'abscisse $x_0 = 1$ .

$f(1) = 1 - 2 + 1 = 0$

$f'(x) = 3x^2 - 2$ , donc $f'(1) = 3 - 2 = 1$

Équation : $y = 1 \cdot (x - 1) + 0 = x - 1$

Normale en un point

La normale au graphe de $f$ en $(x_0, f(x_0))$ est perpendiculaire à la tangente. Sa pente est $-\dfrac{1}{f'(x_0)}$ (si $f'(x_0) \neq 0$ ).

Exercices de la Semaine 7

Exercice 1 Facile

Dérivée par définition

Calculer $f'(x)$ en utilisant la définition $f'(x) = \displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ :

$f(x) = 3x + 2$
$f(x) = x^2 - 4x$
$f(x) = \dfrac{1}{x}$

Solution complète

1) $\dfrac{3(x+h)+2-(3x+2)}{h} = \dfrac{3h}{h} = 3 \to 3$ . Donc $f'(x) = 3$ .

2) $\dfrac{(x+h)^2-4(x+h)-(x^2-4x)}{h} = \dfrac{2xh+h^2-4h}{h} = 2x+h-4 \to 2x-4$ . Donc $f'(x) = 2x-4$ .

3) $\dfrac{\tfrac{1}{x+h}-\tfrac{1}{x}}{h} = \dfrac{x-(x+h)}{h\cdot x(x+h)} = \dfrac{-1}{x(x+h)} \to -\dfrac{1}{x^2}$ . Donc $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ .

Exercice 2 Facile

Règles de dérivation — somme

Dériver chaque fonction (utiliser les règles et le tableau) :

$f(x) = 4x^5 - 3x^3 + 7x - 2$
$g(x) = \sqrt{x} + \dfrac{1}{x^2} + e^x$
$h(x) = 3\sin x - 2\cos x + \ln x$

Solution complète

1) $f'(x) = 20x^4 - 9x^2 + 7$

2) $g(x) = x^{1/2} + x^{-2} + e^x$ , donc $g'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - \dfrac{2}{x^3} + e^x$

3) $h'(x) = 3\cos x + 2\sin x + \dfrac{1}{x}$

Exercice 3 Intermédiaire

Règle du produit et du quotient

Dériver en appliquant la règle appropriée :

$f(x) = x^3 \cdot \ln x$
$g(x) = e^x \cdot \sin x$
$h(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$
$k(x) = \dfrac{\ln x}{x}$

Solution complète

1) Produit : $f' = 3x^2 \cdot \ln x + x^3 \cdot \dfrac{1}{x} = 3x^2\ln x + x^2 = x^2(3\ln x + 1)$

2) Produit : $g' = e^x\sin x + e^x\cos x = e^x(\sin x + \cos x)$

3) Quotient : $h' = \dfrac{2x(x^2+1) - (x^2-1)\cdot2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{2x^3+2x-2x^3+2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{4x}{(x^2+1)^2}$

4) Quotient : $k' = \dfrac{\tfrac{1}{x}\cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$

Exercice 4 Intermédiaire

Règle de la chaîne

Dériver en utilisant la règle de la composée :

$f(x) = (3x^2 - 1)^5$
$g(x) = e^{-2x+3}$
$h(x) = \ln(x^2 + 4)$
$k(x) = \sin(2x)\cos(3x)$

Solution complète

1) $f' = 5(3x^2-1)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2-1)^4$

2) $g' = e^{-2x+3} \cdot (-2) = -2e^{-2x+3}$

3) $h' = \dfrac{1}{x^2+4} \cdot 2x = \dfrac{2x}{x^2+4}$

4) Produit de composées. $k' = 2\cos(2x)\cos(3x) + \sin(2x)\cdot(-3\sin(3x)) = 2\cos(2x)\cos(3x) - 3\sin(2x)\sin(3x)$

Exercice 5 Difficile

Tangente et normale

Pour la fonction $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$ :

Calculer $f'(x)$ .
Trouver l'équation de la tangente en $x_0 = 2$ .
Trouver les points où la tangente est horizontale.
Trouver l'équation de la normale en $x_0 = 2$ .

Solution complète

1) $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$

2) $f(2) = 8 - 12 + 4 + 1 = 1$ . $f'(2) = 12 - 12 + 2 = 2$ .

Tangente : $y = 2(x-2) + 1 = 2x - 3$ .

3) Tangente horizontale ⟺ $f'(x) = 0$ : $3x^2 - 6x + 2 = 0$ . $\Delta = 36-24 = 12$ . $x = \dfrac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .

4) Normale en $x_0=2$ : pente $= -\dfrac{1}{f'(2)} = -\dfrac{1}{2}$ . Équation : $y = -\dfrac{1}{2}(x-2) + 1 = -\dfrac{x}{2} + 2$ .

Exercice 6 Difficile

Type Maturité — dérivées combinées

Dériver les fonctions suivantes (toutes les règles sont nécessaires) :

$f(x) = \dfrac{e^{2x}}{x^2 + 1}$
$g(x) = \ln\!\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)$
$h(x) = x^2 \cdot e^{-x^2}$

Solution complète

1) Quotient + chaîne :

$f' = \dfrac{2e^{2x}(x^2+1) - e^{2x}\cdot2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{2e^{2x}(x^2-x+1)}{(x^2+1)^2}$

2) Chaîne + logarithme :

Méthode 1 (développer) : $g(x) = \ln(x+1) - \ln(x-1)$ , donc $g'(x) = \dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{x-1} = \dfrac{(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \dfrac{-2}{x^2-1}$ .

3) Produit + chaîne :

$h'(x) = 2x\cdot e^{-x^2} + x^2 \cdot e^{-x^2}\cdot(-2x) = 2xe^{-x^2}(1 - x^2) = 2x(1-x^2)e^{-x^2}$